Quando si parla di finanza le attività che vengono in mente sono di vario tipo: valutazione delle attività finanziare e assicurative, misurazione del rischio di prodotti finanziari, studio di tecniche di copertura del rischio con strumenti di ottimizzazione, elaborazione di soluzioni di gestione ottimale del portafoglio che siano in grado di coniugare l’informazione di tipo statistico proveniente dai dati storici e quella implicita nella valutazione corrente dei prodotti finanziari…  Tutte queste attività si basano su principi matematici, ma in realtà quasi mai la matematica viene in mente in modo esplicito. 

Già il matematico Bruno De Finetti, a partire dagli anni ’20 iniziò ad interessarsi alle applicazioni di matematica e statistica nell’ambito economico e finanziario: “le incursioni di De Finetti nel campo dell’economia non sono state numerose, ma di una straordinaria fecondità”, così in “Riflessioni sull’opera di Bruno De Finetti”, a cura di Mario Tiberi. 

Si è tenuto recentemente un evento ideato da Azimut Italia, in cui BNova ha parlato di modelli matematici applicati alla realtà. Giulia Lucherini ha spiegato come fenomeni quotidiani possano essere spiegati con il metodo scientifico, mantenendo serietà pur con semplicità nell’esposizione degli stessi. Il presente articolo ha il medesimo scopo: dimostrare quanto la matematica sia a servizio della finanza con esempi pratici e accessibili ai lettori. 

Cosa si intende per ottimizzazione: esempi pratici  

Un problema di ottimizzazione è definito da due componenti: una serie di vincoli, ed una funzione obiettivo di cui si vuole trovare il minimo o il massimo, ovvero quel risultato che ottimizza l’obiettivo e al contempo soddisfa tutti i vincoli. 

Possiamo immaginare i vincoli come una serie di restrizioni a cosa costituisce una soluzione possibile, e la funzione obiettivo come una valutazione di quanto preferibile riteniamo una soluzione. 

Immaginiamo che una fabbrica produca due prodotti, X e Y, con due macchine, A e B. La lavorazione del prodotto X richiede 50 minuti sulla macchina A e 30 minuti sulla macchina B, mentre la lavorazione del prodotto Y richiede 24 minuti sulla macchina A e 33 minuti sulla macchina B. In una data settimana, A sarà in 

funzione per 40 ore e B sarà in funzione per 35 ore. Quanto è possibile produrre in totale? 

Rappresentazione grafica della regione accettabile. In blu le aree in cui qualche vincolo viene violato.

In questo caso: 

La funzione obiettivo è data dal totale della produzione: F(X, Y) = X + Y 

I vincoli sono dati dalle restrizioni temporali:  

50X + 24Y <= 40 * 60
30X + 33Y <= 35 * 60
X >= 0, Y >= 0 

L’esempio che abbiamo illustrato è semplice perché coinvolge poche variabili e vincoli intuitivi. Nei problemi che si incontrano nella realtà quotidiana potremmo doverci interfacciare con situazioni complesse che coinvolgono molte variabili e vincoli eterogenei, difficilmente gestibili con carta e penna o strumenti “manuali”. Pensiamo alle grandi aziende logistiche che devono gestire simultaneamente orari di consegna, orari di disponibilità dei destinatari, dei mezzi e dei soggetti coinvolti a vario titolo, risparmio di tempo, attenzione alle emissioni ambientali, consegne funzionali… 

È indispensabile ricorrere, quindi, ad algoritmi specializzati che risolvono problemi di ottimizzazione simili a quello che abbiamo illustrato in maniera automatica, e quindi scalabile anche ad istanze del problema abbastanza grandi da modellare situazioni realistiche. 

L’ambito di applicazione di modelli di questo tipo è chiaramente vastissimo: in estrema sintesi stiamo cercando di massimizzare l’utilità – definita dalla funzione obiettivo – in una situazione di risorse limitate soggette ad usi alternativi, uno scenario ascrivibile a quasi qualsiasi attività umana. 

Ottimizzazione e finanza: connubi di successo 

Nell’introduzione abbiamo già citato De Finetti come studioso delle applicazioni matematiche in economia e finanza; nella finanza moderna questo matrimonio si è consolidato con l’utilizzo di strumenti matematici sempre più sofisticati anche nella pratica quotidiana. Per citare esempi di vasta fama, il modello di ottimizzazione del portafoglio di Markowitz (premio Nobel 1990) e il modello di option pricing di Black-Scholes-Merton (per cui Scholes e Merton vinsero il Nobel nel 1997) sono problemi di ottimizzazione alla base della teoria finanziaria moderna. 

Un altro esempio di applicazione di un problema di ottimizzazione è quello dell’individuazione delle possibilità di arbitraggio nel mercato valutario. Ad un dato tasso di cambio, possiamo scambiare una valuta con un’altra, ad esempio Euro in Dollari, Dollari in Sterline e così via. Un’opportunità di arbitraggio si verifica quando esiste una serie di cambi tra valute tali da partire con un’unità di una certa valuta e terminare con più di quell’ unità. Naturalmente, di solito questa opportunità non esiste, ma è possibile individuare i casi eccezionali formalizzando la richiesta in un problema di ottimizzazione. 

Ipotizziamo che il Sig. Rossi abbia a disposizione K euro. Assumiamo di avere a disposizione N valute intermedie, e di conoscere, per ogni coppia di valute i,j il tasso di cambio ci,j

L’obiettivo è massimizzare la quantità di denaro generata attraverso una sequenza arbitraria di cambi. 

I vincoli sono definiti dagli utili e dalle perdite sui cambi generati dai tassi di cambio. 

Se indichiamo con Xi,j la quantità scambiata tra una coppia di valute i,j, deve valere: 

e per ogni valuta intermedia i

dove A rappresenta il capitale finale dopo l’esecuzione di tutte le transazioni. 

La formulazione di questo problema è simile a quella vista nella sezione precedente, e quindi risolvibile dagli algoritmi di ottimizzazione comunemente trovati nei solver di programmazione lineare. 

Un altro esempio di problemi di ottimizzazione in finanza è quello dell’ottimizzazione del portafoglio, ovvero di come diversificare in maniera ottimale gli investimenti di un individuo di cui è nota la propensione al rischio. Uno dei modelli più noti a questo scopo è il modello di Merton. 

Il modello ipotizza che l’orizzonte temporale del risparmiatore sia un intervallo di tempo 0…T, e che egli abbia a disposizione un capitale iniziale W0

In ogni istante di tempo t, sceglie quale frazione di capitale consumare (ct), quale frazione investire in un portafoglio azionario (𝜋t), e quale investire in un asset privo di rischi. 

Attribuisce valore a due aspetti: consumare ricchezza istantaneamente, ed accumulare ricchezza al termine dell’orizzonte temporale. Sia al consumo che al risparmio, applica una funzione di utilità 

dove 𝛾 rappresenta l’avversità al rischio. 

È chiaro quindi che il futuro dell’intelligenza artificiale nel settore economico/finanziario è in ascesa, lasciando ipotizzare uno scenario dove sempre più si ricorrerà all’uso della matematica e degli algoritmi per descrivere il dominio, confidando che possano apportare supporto alle decisioni umane. 

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